PIERRE DE FERMAT

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CHIFFRE

Le mot arabe "Sifr" signifie le vide. Par quel mystère ce terme qui a donné cifre, puis chiffre  en français en est-il venu à designer les 10 figures qui permettent de composer tous les nombres ?

Zéro

Quand au mot zéro, il descend tout droit de l'italien zephiro qui lui-même vient de l'arabe Sirf, quelle surprise !

Le deux

Symbole d'opposition, de conflit, de réflexion, le deux est le nombre de toutes les ambivalences et les dédoublements. Il est la première et la plus radicale des divisions (le créateur et la créature, le blanc et le noir, le masculin et le féminin, la matière et l'esprit, la mort et la vie, le bon et le mal, la gauche et la droite, le haut et le bas) mais c'est aussi le symbole de l'amour et du partage.

Le trois

Trois est universellement un nombre fondamental. Il résulte de la Conjonction de 1 et de 2, produit en cas de l'Union du Ciel et de la Terre. Trois disent les Chinois, est un nombre parfait, l'expression de la totalité, de l’achèvement : il ne peut y être ajouté. Pour les chrétiens, le trois est la perfection de l'Unité divine : Dieu est un en trois personnes. Pour les bouddhistes, le temps est triple : passé, présent, avenir, le monde est triple : terre, atmosphère, ciel.

Thalès de Milet

Le savant dans la lune 
Le thème de la distraction du mathématicien est assez légendaire. A propos de Thalès, la philosophe grec Platon raconte au Vè siècle av. J.C., l'anecdote suivante : "Thalès étant tombé dans un puits tandis que, préoccupé d'astronomie, il regardait en l'air, une petite servante pleine de bonne humeur se mit à le railler de mettre tant d'ardeur à savoir ce qui est au ciel alors qu'il ne s'apercevait pas de ce qu'il y avait devant lui, à ses pieds". 


Au XVIIè siècle, la fabuliste La Fontaine se fait l'écho de cette anecdote : 
Un astrologue un jour se laissa choir
Au fond d'un puits. On lui dit : "pauvre bête,
Tandis qu'à peine à tes pieds tu peux voir,
Penses-tu lire au dessus de ta tête ?

Peut-être les savants sont-ils distraits du fait de la nature même de leurs recherches ? Henri Poincaré a raconté comment il trouva, en posant le pied sur le marche-pied de l'omnibus, la solution à un problème qui le préoccupait depuis longtemps. 

Il est l'un des sept sages de la Grèce antique. Philosophe, astronome, mathématicien, il vécut probablement à la fin du VIIè siècle avant notre ère. L'écrivain grec Plutarque affirme que "dressant seulement à plomb un bâton au bout de l'ombre de la pyramide, et faisant deux triangles avec la ligne que fait le rayon du soleil touchant aux deux extrémités, Thalès montra qu'il y avait telle proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton comme il y a de la longueur de l'ombre de l'un à la longueur de l'ombre de l'autre".

Méthode

On sait l'importance de la méthode pour les savants du XVIIè siècle . Le mot vient du grec. Il est formé de méta et hodos qui signifie la voie, la route la direction qui mène au but. Méthodos a donc le sens du chemin suivi, puis il prend celui du chemin à suivre. Aujourd'hui, on définit la méthode comme la marche rationnelle de l'esprit pour arriver à la connaissance ou à la démonstration d'une vérité, ce qui rest très proche du sens initial.

Le cinq

Le cinq tire son symbolisme de ce qu'il est, d'une part la somme du premier nombre pair et du premier nombre impair (2+3), d'autre part le milieu des neuf premiers nombres. Il est signe d'union, nombre du centre, de l'harmonie et de l'équilibre. Il est encore symbole de l'homme (bras écartés, celui-ci paraît disposer de cinq parties en forme de croix) et de l'univers : deux axes, l'un vertical et l'autre horizontal, passant par un même centre.

THEORIE ET THEOREME

Le théorème et la théorie appartiennent à la même famille. Ils sont tous deux dérivés du verbe grec theôrien = observer, examiner. La théorie, après avoir signifié considération, vue de l'esprit, désigne des éléments de connaissance organisés en un ensemble. On dit, par exemple, la théorie des nombres pour signifier l'arithmétique. Quand au théorème, il peut se définir en mathématique comme une proposition scientifique démontrable qui résulte d'autres propositions déjà posées.

Pythagore de Samos

La vie et l'oeuvre de Pythagore de Samos, philosophe et mathématicien grec, restent entourées de mystère.
Il aurait vécu au VIè siècle avant notre ère et fondé à Crotone, au sud de l'Italie, une école philosophique, le pythagorisme, qui voit dans les nombres entiers le principe de toute chose. A travers les nombres figurés, les pythagoriciens ont une vision géométrique des nombres : nombres carrés, triangulaires ... Elle leur permet de les classer et d'en expérimenter les propriétés.


Il est impossible de compter une même unité un nombre entier de fois dans le côté et la diagonale.

Première crise dans l'histoire des mathématiques... la crise des irrationnels.



Prenons le côté et la diagonale d'un carré. La conception pythagoricienne du monde voulait qu'il existe une unité commune mesurant en nombres entiers le côté de la diagonale. Or, il est impossible de trouver une telle unité. Le rapport du côté à la diagonale est irrationnel. Il fallut admettre que certains rapports ne s'expriment pas par des entiers (ne sont pas rationnels) ; cette découverte - un scandale pour les pythagoriciens - a ruiné le pythagorisme.

Le sept

Sept est le nombre sacré par excellence dans la majorité des traditions humaines. Il correspond aux sept jours de la semaine, aux sept planètes, aux sept degrés de la perfection, aux sept sphères ou degré célestes. Associant le quatre, qui symbolise la terre( avec ses quatre points cardinaux) et le trois, qui symbolise le ciel, sept représente la totalité de l'univers en mouvement, la totalité de l'espace et la totalité du temps. C'est le symbole du dynamisme de l'achèvement du monde et de la plénitude des temps.

Énigme
n	2n-1	2n-1(2n-1)
2	3	6
3	7	28
4	15	120
5	31	496
6	63	2016
7	127	8128
Où voyez-vous dans ce tableau des nombres parfaits ?

Euclide d'Alexandrie

Fondateur de l'école mathématique d'Alexandrie au IIIè siècle avant notre ère.
Euclide a écrit de nombreux ouvrages. Les Éléments, découpés en treize livres, ont fait sa réputation. Ils sont exemplaires du caractère démonstratif et déductif de la mathématique grecque : définitions, axiomes, postulats, dont le fameux postulat d'Euclide, précèdent les propriétés démontrées. On y trouve le théorème de Thalès, celui de Pythagore et de nombreux autres théorèmes de géométrie et d'arithmétique. Ils ont constitué une référence pour les mathématiciens des époques postérieures.
Ce traité est, après la Bible, l'ouvrage qui jusqu'à 1900 a connu le plus d'éditions ... au moins un milliers !

Euclide enseignait les mathématiques à Alexandrie. Un jour quelqu'un qui commençait l'étude de la géométrie sous sa direction lui demanda après avoir appris le premier théorème : "Qu'est-ce que je devrais recevoir en apprenant ces choses ?" Euclide aurait alors ordonné à son esclave : "Donne lui trois pièces, puisqu'il doit réaliser un profit à partir de ce qu'il apprend.

Ces nombres qu'on dit parfaits

Les égalités suivantes aiguisaient l'intérêt des anciens : 
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

6 et 28  sont tous deux la somme de tous leurs diviseurs excepté eux-mêmes. Les Anciens les nommèrent parfaits.
Ils connaissaient aussi 496 et 8128. Mais en trouver d'autres devint un problème...
Euclide au livre IX des "Éléments", proposition 36, a démontré que si 2^n-1 est  premier, alors 2^n-1  (2n - 1) est parfait (et pair). Par exemple : 31, c'est à dire 2⁵ - 1, est premier, ce qui fait retrouver 16 x 31 comme nombre parfait, c'est à dire 2⁴ (2⁵ - 1) = 496.

Fermat étudia ce problème. En juin 1640, il envoya à Mersenne "trois fort belles propositions" dont deux facilitent la recherche des nombres parfaits pairs. Euler montra que la proposition d'Euclide donne tous les nombres parfaits pairs ; on en connaît aujourd'hui une quarantaine. 
Le 1er juin 1999, Najan Hajratwala (U.S.A.) a trouvé que 2^{6 972 593} - 1 est premier ; c'est le plus grand nombre premier actuellement connu, il comporte plus de deux millions de chiffres ; par suite 2^{6 972 592}(2^{6 972 593} - 1) est un nombre parfait de plus de quatre millions de chiffres.
On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs ; tout ce que nous savons à leur propos est qu'ils doivent avoir au moins 300 chiffres ; il ne doit pas y en avoir beaucoup. 

Postulat

Par un point donné on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée."
 Le postulat n'est qu'un principe que le géomètre "demande" à son interlocuteur de lui accorder comme point de départ de démonstrations. Dans les géométries non euclidiennes bâties au XIXè siècle, le postulat d'Euclide est en défaut : on peut mener soit une infinité de parallèle soit aucune.

Conjecture

Le mot conjecturer apparaît au XIIIè siècle dans la langue française. Il vient du latin cum et jacer = jeter ensemble, d'où combiner dans l'esprit, présumer. La conjecture prend ensuite le sens figuré de : idée fondée sur une probabilité, une apparence. Utilisé d'abord à propos des augures dans le langage de la magie, il passe ensuite dans celui de la philosophie, de la logique et enfin dans la langue des mathématiques. A ne pas confondre avec conjoncture qui désigne une situation résultant d'un concours de circonstances.

Le onze

S'ajoutant à la plénitude du dix qui symbolise un cycle complet, le onze est le signe de l'excès, de la démesure, du débordement. Il est la conjonction entre le cinq et le six qui représentent le microcosme et le macrocosme, le ciel et la terre. D'une façon générale, le onze est le nombre de l'initiative individuelle, mais aussi de la lutte intérieure et de la dissonance.  

Polémique : quel est le juste parti ?

Pascal à Fermat, le 26 août 1654 : "Monsieur, quand il n'y a que deux joueurs, votre méthode, qui procède par combinaisons est très sûre ; mais, quand il y'en a trois, je crois avoir démonstration qu'elle est mal juste..."
Voyons cela : il y a trois joueurs a, b et c et il manque une partie au joueur a pour gagner et deux parties aux joueurs b et c.
Trois parties au maximum décideront du jeu. On s'accorde sur l'inventaire des possibilités ; il y en a 27 :

          a          
   a       b       c  
abc   abc   abc

          b          
   a       b       c  
abc   abc   abc

          c          
   a       b       c  
abc   abc   abc

Comment interpréter ? Que dire par exemple de l'éventualité abb ? Pascal prétend que a et b sont tous deux vainqueurs et doivent alors partager le gain. Il raisonne ainsi : 13 cas sont favorables au premier joueur seul, 6 lui donne la moitié du gain et 8 lui sont défavorables. Si 27 pistoles sont en jeu, le joueur a doit donc en recevoir 13+6/2, soit 16. 
Fermat fait apparaître que ce raisonnement est manifestement faux : son correspondant ne tient pas compte de l'ordre ! Or, si a gagne au premier jet, il n'est plus nécessaire de poursuivre. Il y a donc 17 chances de gagner pour a, 5 pour b et 5 pour c ; tel est le juste parti. Ce dont Pascal convient dans un autre courrier.

De l'erreur ... au coeur de l'invention mathématique

Le mathématicien cherche et confronte ses idées ; la correspondance de Pascal et de Fermat en 1654 à propos du problème des partis en est une illustration célèbre !
" Les deux savants ont donné, par des voies différentes, la solution exacte au problème des partis : "je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris" écrira Pascal en juillet 1654.
Mais en août de la même année, un raisonnement erroné lui fait contester la méthode de Fermat dans le cas de trois joueurs. Son correspondant le lui fait remarquer et Pascal admet l'objection : "voilà notre intelligence rétablie" conclut il.
Toute l'histoire des mathématiques est riche de tels tâtonnements, tissu complexe  et foisonnant de conjectures, hésitations, impasses, modèles concurrents, intuitions fulgurantes, synthèses théoriques. 

Le treize

Dès les temps les plus anciens, le nombre treize fut considéré comme de mauvais augure. Lors du dernier repas du Christ avec ses apôtres, la Cène, les convives étaient treize. Cependant, le treizième d'un groupe apparaît en même temps comme le plus puissant, le plus sublime (Zeus le plus prestigieux dans le cortège des 12 dieux). Chez les anciens mexicains, le soleil préside le cortège de 12 étoiles. De sorte que 13 peut se décomposer en 12+1 et signifier du même coup, non pas une fin, mais l'achèvement d'un cycle avant le recommencement.

Démonstration

Venant du latin mens-mentis qui signifie esprit, intelligence, montrer apparaît au Xè siècle et démontrer au XIVè siècle. Le mot démonstration désigne l'action de montrer, de faire voir, d'indiquer. Il est employé plus particulièrement en rhétorique et en droit. Il prend une valeur très précise en mathématique et en logique supposant des prémices affectées d'une valeur de vérité et un raisonnement déductif strict aboutissant à établir la vérité d'une proposition.



Femmes et mathématiques ... Sophie Germain (1776-1831) Parmi les scientifiques, y-a-t-il une place pour les femmes ? Sophie Germain est la première femme à avoir tenté passionnément de forcer les portes de la discipline mathématique. Autodidacte, elle a du lutter contre les obstacles dressés pour freiner son engagement en tant que mathématicienne. 
Elle a du utiliser un pseudonyme masculin pour que ses premiers travaux mathématiques soient simplement lus par les mathématiciens de l'époque.
Le premier théorème de Sophie Germain :
si x⁵ + y⁵ + z⁵ = 0, alors l'un des trois nombres entiers relatifs x, y et z est divisible par 5.
Ses travaux ont une^place importante dans l'histoire de la résolution du théorème de Fermat.

Le prix Fermat

de recherches en mathématiques est un prix international créé en 1987 à Toulouse à l'initiative de Jean Baptiste Hiriart-Urruty, sous l'égide de l'Université Paul Sabatier et d'Astrium.Décerné tous les deux ans, il concerne les domaines des mathématiques ou les contributions de Pierre Fermat ont été les plus marquantes. Parallèlement le prix Fermat Junior de mathématiques s'adresse aux étudiants (niveau bac+3 au maximum)

La preuve

Le mot preuve appartient à la famille de l'adjectif probe qui vient du latin probhos, littéralement qui pousse droit. Le verbe prouver a d'abord signifié mettre à l'épreuve, puis dès le XIIIè siècle : montrer, démontrer. En mathématique, conjecturer ne suffit pas, encore faut-il prouver ce que l'on avance. C'est toute la différence entre la conjecture et le théorème.

Le dix sept

17 est en relation avec le 72. Le premier est la somme et le second le produit de 9 et de 8. Pour les grecs anciens, 17 qui représente le nombre de consonnes de l'alphabet, se divise à son tour en 9 consonnes muettes, et 8 semi-voyelles ou semi-consonnes.
Pour les pythagoriciens, 17 représente le nombre de ceux qui seront ressuscité, chacune de ces personnes devant recevoir l'une des 17 lettres dont se compose le nom suprême de Dieu. Ce nombre était donc symbole de renaissance et de mutation.

Evariste Galois 1811-1832
Comme un Rimbaud en mathématiques On trouve peu d'exemples de vie et de mort aussi romanesque que celles de Gallois. 
Recalé à l'Ecole Polytechnique, mis à la porte de l'Ecole Normale Supérieure pour cause de barricades, emprisonné par deux fois pour activités politiques. Il a présenté quatre mémoires à l'Académie des Sciences, les deux premiers "perdus par Gauchy, un égaré à la mort de Fourier et le quatrième renvoyé par Poisson. Evarsite Galois est mort tragiquement à la suite d'un duel au pistolet, à l'âge de 21 ans, non sans avoir écrit, dans la nuit précédant ce duel, une lettre qui est un génial testament scientifique dans lequel il résume ses idées sur la théorie des équations algébriques.

 

La passion des mathématiques

"Dès que j'ai su compter, j'ai été fasciné par la clarté des nombres, et ce sentiment de sérénité s'est amplifié au fur et à mesure que j'assimilais de nouvelles connaissances... j'ai toujours eu le désir de vérifier mon aptitude à surmonter les difficultés... A 28 ans, j'ai résolu un problème sur lequel j'avais travaillé un an à plein temps et trois à temps partiel". C'est ainsi qu'Alain Connes en parle...
La joie de chercher et le plaisir de trouver des problèmes, l'attrait de la beauté du monde des formes et des nombres, la volonté tenace d'expliquer, de comprendre de connaître... tel est ce qui anime le mathématicien. Andrew Whiles a tenu à le souligner lors de sa visite à la Maison Fermat le 28 octobre 1995 : "je suis passionné par le problème de Fermat depuis l'âge de 10 ans. Je l'ai découvert en lisant un livre de mathématiques. J'ai travaillé à la démonstration durant 8 ans. Ce fut un défi pour moi et les autres"

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