Pierre Fermat est surtout connu pour ses recherches et ses travaux
mathématiques et ses relations avec les esprits éclairés de son
temps. Au XVIIème siècle, se produit un foisonnement scientifique et
culturel, vecteur de nombreuses découvertes, dans lequel s’inscrit
Fermat. Cependant, le monde scientifique n’est pas organisé, le
métier de mathématicien n’existe pas. Fermat pas plus que les autres
savants de son siècle, n’était mathématicien de profession. La
plupart des passionnés de mathématiques, étaient des magistrats :
Viète exerçait la profession d’avocat, Despagnet était conseiller
au Parlement de Bordeaux, Carcavi fils de banquier commença sa
carrière au Parlement de Toulouse où il connut Pierre Fermat auquel le
lia toute sa vie une grande amitié, seul Roberval fait exception.
Le point de départ des travaux de Fermat est soit une obscurité, soit une absence et son
premier but est toujours de rétablir ou de comprendre une vérité qu’avaient
affirmée les Anciens. Ainsi, à l’instar de ses contemporains, il se
tourne vers les oeuvres des géomètres grecs que l’on découvre en Europe à la fin du XVI ème siècle et
au début du XVII ème. A partir de ces ouvrages, il va développer la
géométrie analytique et le calcul différentiel.
Il fut aussi un précurseur du calcul intégral et du calcul des probabilités.
En optique, Fermat est en polémique avec Descartes. Mais en 1662, alors
que Descartes est mort depuis 1650, Fermat combine sa méthode des
extrêmes au postulat « que la nature opère par les moyens et les
voies les plus faciles et les plus aisées » pour retrouver la
proposition de Descartes sur les fractions. Cela l’amène à
découvrir le très important principe du moindre
temps. Il est à la base de la découverte du calcul des variations
qui n’a cessé d’avoir jusqu’à nos jours la plus grande
importance en physique et dans des théories aussi nouvelles que la
mécanique ondulatoire, l'économie.
Mais c’est pour ses travaux sur la théorie des nombres qu’il est devenu célèbre et qu’il
s’est révélé sans rival avec son dernier grand théorème. Les problèmes relatifs aux
nombres entiers ou rationnels étaient très à la mode dans la première moitié du XVII ème siècle.
Pierre Fermat fut un amateur de génie car il a participé à la plupart des grandes
découvertes mathématiques du XVII ème siècle et il a donné pour
bien des théories le coup de pouce indispensable. Sa contribution dans
l’avancée mathématiques s’est révélée importante au cours des
siècles suivants.
Xn + Yn = Zn n'admet pas de solution en nombres entiers si
l'exposant n est strictement supérieur à 2
Les oeuvres des géomètres grecs
En 1588 est publiée en latin la « Collection
Mathématique » de Pappus d’Alexandrie (4è siècle après
JC) où l’on trouve les propositions d’Apollonius de Perge sur les
lieux plans. Ces propositions obscures vont intéresser Fermat qui va
compléter et démontrer les propositions transmises par Pappus sur les
lieux plans. Ce fut là, certainement, un des tout premiers travaux mathématiques
de Fermat qui apporta une avancée formidable au niveau de
la géométrie analytique. La publication au XIXè siècle du texte complet de Pappus a montré que
Fermat avait fait preuve d’un merveilleux sens divinatoire qui révèle d’emblée la profondeur de son génie.
C’est encore une méditation sur un point obscur
de la traduction d’un texte de Pappus qui est à l’origine de ses
travaux sur le calcul différentiel. Ils le conduisent à décrire une méthode pour
trouver les minima et les maxima qu’il applique ensuite à la
construction des tangentes.
La géométrie analytique
C'est à Descartes, avec la parution de sa Géométrie en 1637, que l'on attribue
l'invention de la géométrie dite "analytique" qui permet
d'associer à une courbe son équation à partir de laquelle on étudie
les propriétés de la courbe.
Sensiblement à la même époque, et indépendamment de Descartes,
Fermat travaille dans le même sens.
A l'occasion d'un essai de
reconstruction d'un traité perdu d'Apollonius de Perge (IIIè siècle
avant J.C.) sur les "lieux plans" (lieux qui regroupent les
droites ou les cercles), Fermat met en oeuvre ses connaissances de
l'algèbre de Viète pour aborder le problème sous un jour totalement
nouveau : la nature et la construction des courbes planes sont
déterminées par l'équation algébrique qui leur est associée.
Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quantités inconnues, on a un
lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne droite ou
courbe. La ligne droite est simple et unique en son genre ; les espèces
de lignes courbes sont en nombre indéfini, cercle, parabole, hyperbole,
ellipse, etc.
Fermat se donne une droite sur laquelle il choisit l'origine O (plus exactement, il considère la
demi-droite OX) et un angle alfa qu'il choisit en général droit. Si
nous appelons x et y les deux inconnues liées par une équation, la
première est représentée par OX, la seconde par XM. Lorsque x varie,
l'extrémité M génère une courbe plane. (Fig.1). Fermat essaiera par
la suite d'étendre sa géométrie analytique aux surfaces de l'espace.
Notons que le système de Fermat (tout comme celui de Descartes
d'ailleurs), n'est pas tout à fait notre système actuel de
coordonnées appelées un peu abusivement "cartésiennes"
(Fig.2). En particulier, les quantités négatives ne sont pas
représentées.
Le calcul différentiel
Fermat fit deux découvertes importantes étroitement
liées à ses travaux sur les lieux plans. La plus importante est sans
doute une règle pour la détermination des extremums des fonctions algébriques
qu’il décrira sans démonstration dans un petit traité « Méthodus ad
disquiren dam Maximam et Minimam » en 1637, 8 ans après sa découverte
. Vers 1632, il appliquera cette méthode à la construction des
tangentes.
Cette méthode des extremums arriva dans les mains
des géomètres parisiens en 1637, Descartes en prit connaissance en
1638 par Mersenne. Mais Fermat l’avait inventée bien avant, puisqu’en
1629, à l’age de 28 ans il l’avait communiquée à un de ses collègues
au Parlement de Bordeaux, M. Despagnet.
La méthode parut fausse à Descartes qui écrivit au Père Mersenne « Mon
révérend Père, je serais bien aise de ne rien dire de l’écrit que
vous m’avez envoyé pour ce que je n’en saurais dire aucune chose
qui soit à l’avantage de celui qui l’a composé » 18 janvier
1638.
Le Père Mersenne
Roberval répond « Quand M. Descartes aura
entendu la méthode de M. Fermat... alors il cessera d'admirer que cette
méthode ait trouvé des défenseurs et il admirera la méthode même
qui est excellente et digne de son auteur » avril 1638. On doit
convenir que Fermat ne s'était pas montré prolixe pour faire valoir sa
méthode. Si l'on suit strictement les indications de Fermat en les
exprimant avec notre symbolisme moderne, ou obtient la règle
suivante :
Pour trouver la valeur a où une fonction est maximum ou minimum,
exprimer f(a), substituer a+e à a, c'est-à-dire exprimer f(a+e);
adégaler f(a) et f(a+e) (adégaler est un terme emprunté à Diophante
pour rappeler que f(a+e) n'est que presque égale à f(a) ; dans
cette adégalité ne garder que les termes du premier ordre en e ;
diviser par e, en égalant on obtient maintenant une équation en a que
1’ont doit résoudre. Il y a dans cette règle le calcul explicite de
ce que nous appelons la dérivée : f’(a) et la manière d'utiliser
cette dérivée pour déterminer les extremums : chercher les solutions
de f'(a) = 0. Bien entendu Fermat n'utilise pas le symbole f'(x) qui ne sera
introduit qu’un siècle plus tard par Euler.
Lorsque Fermat applique sa méthode à la construction de 1a tangente en un
point d'une courbe, on s'aperçoit qu’il a parfaitement maîtrisé la
pratique de ce que nous appelons les coordonnées cartésiennes
rectangulaires, ceci donc, bien avant la publication de "la géométrie"
de Descartes. Cependant, passant en quelque sorte a côté de la
dérivée sans la voir, il ignore que cette dérivée qu'il a pourtant,
nous l'avons vu, calculée, lui donne la pente de la tangente cherchée.
Ces contemporains Descartes. Roberval. Pascal même ne s’en
aperçoivent pas non plus. Il faudra attendre Sluze et Barrow, le
maître de Newton qui imagine en 1670, le triangle différentiel pour
qu'on se rende enfin compte que la règle de Fermat résolvait d'une
manière simple et immédiate le problème de la construction des
tangentes.
Le calcul intégral
Le calcul intégral est le calcul des aires, volumes et
centres de gravité. Dans ce domaine l'apport de Fermat est très
important. Il utilise par exemple des découpages fondés sur une
progression géométrique, mieux adaptés pour le calcul d'aires sous les
courbes d'équation yp = a . xq
La première utilisation d'un tel type de découpage datait du dixième siècle
et était due au mathématicien arabe Ibn al-Haytam. Fermat calcule aussi
pour la première fois par ce procédé des aires planes dont une
dimension devient infinie. Autrement dit, on trouve dans l'oeuvre de
Fermat le premier calcul de ce qu'on appelle communément une intégrale généralisée.
Le calcul de probabilités
C'est une correspondance de 1654 entre Fermat et
Blaise Pascal qui va jeter les premières bases du calcul des probabilités.
Le sujet des échanges épistolaires est un problème posé par le
Chevalier de Méré. Un jeu est engagé entre deux partenaires. Le gagnant
est celui qui remporte le premier un nombre de parties fixé par avance.
Or il advient que les deux joueurs doivent se séparer avant l'issue
finale. Comment doit-on répartir la mise équitablement, en tenant compte
du score au moment où le jeu est interrompu ? Pascal et Fermat sont les
premiers à avoir apporté une réponse exacte et générale à ce problème
des "partis" (du verbe partir, c'est à dire partager), qui
circulait depuis le XVè siècle au moins.
Le principe du moindre temps
En combinant sa méthode des extrêmes au postulat suivant « que la
nature opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées »,
Fermat arrive à un « principe contraire », à celui qu’avait
pris le savant Descartes, à savoir que « le mouvement de la lumière
se fait plus facilement et plus vite dans les milieux rares que dans les
denses ».
Il ramène ainsi la construction du rayon lumineux à un problème de minimum
et le résout en appliquant « les règles de l’art ». Son
résultat concorde absolument et sans exception avec la loi
découverte par Descartes. Mais se demande t-il « est-il possible
d’arriver sans paralogisme à une même vérité par deux voies
absolument opposées ? ». Il ajoute « c’est une question que
nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils pour la résoudre
rigoureusement... »
Ses recherches sur la théorie des nombres
Les premières études de Fermat en théorie de nombres remontent à
1630 où il parvient à élucider le problème suivant :
« Soit x2 + 2(a+b)x = a² + b² où a, b sont des rationnels,
montrer que si x est racine alors x est une différence de deux nombres
non commensurables ».
Puis. c'est la période la plus féconde qui s'étend de 1638 à 1644 où
Fermat démontre son talent véritable.
1) Aucun triangle rectangle en nombre n’a pour aire un carré.
2) Les équations X4 + Y4 = Z4 et X3
+ Y3 = Z3 sont impossibles en nombre rationnels.
3) Aucun nombre de la forme 8k - 1 n'est carré ou somme de deux ou trois carrés.
4) Tout nombre est la somme de trois nombres triangulaires ou plus, de
quatre nombres carrés, de cinq nombres pentagones.
Les propositions 1, 2 et 4 furent démontrées, semble t-il par sa méthode
de «la descente infinie» qui est fondée sur une sorte d'induction
inversée. En effet, si l'on suppose qu'un nombre jouit d'une propriété
spécifique, et qu’on peut prouver qu'un nombre inférieur jouit aussi
de cette propriété, par itération on arrive à conclure à l'absurdité
de la supposition, parce que les nombres entiers ne peuvent décroître indéfiniment.
5) Si n est composé, 2n
-1 est composé.
Si n est premier, tout diviseur premier de 2n
-1 donne un reste égal à 1 dans la division par
n.
6) Si p est premier, a p-1 - 1 est
divisible par p (petit théorème de Fermat).
7) Quant n = p2+ q², p et q étant premiers entre eux. n n’a aucun diviseur de la forme 4k- 1
(démontré par la descente infinie).
Pendant près de 10 ans, Fermat garde le silence sur la théorie des
nombres et c'est par une lettre adressée à Pascal qu'il réaffirme la primauté 2
2n +1 quel que soit n. Puis dans une seconde lettre, il énonce
une suite de propositions qui concernent presque tous les nombres
premiers. Après un nouveau silence de plus de deux ans. il lance un
défi aux mathématiciens anglais et à cette occasion, on voit apparaître l'équation
de Pell : nx²+1 =y².
Dernier grand théorème de Fermat
Parmi ses travaux sur la théorie des nombres, le plus célèbre reste l’équation
qu'il a écrite dans la marge de l'édition Bachet de Méziriac des
oeuvres de Diophante :
« il est impossible de décomposer un cube en deux autres cubes, ni
aucune puissance supérieure (autrement dit a3 + b3
= c3, a4 + b4 = c4, an
+ bn = cn, pour n > 2 sont impossibles) et il ajoute « j'en
ai découvert une preuve merveilleuse qui ne tient pas dans la marge».
Cet énoncé est à rapprocher du théorème de Pythagore qui dit que, dans le
triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés. Cette propriété est vérifiée par une
infinité de triplets de nombres tels que 3, 4, 5 ou encore 5, 12, 13.
Fermat prétend que cette équation merveilleuse illustrée par Pythagore
et Diophante ne se vérifiait plus avec des nombres entiers pour des
puissances supérieures à 2.
Il faudra 350 ans de recherches mathématiques pour que cette conjecture
devienne théorème en 1995.
350 ans de recherches sur la conjecture de Fermat
Conjecture : nom que les mathématiciens donnent à un énoncé dont ils ne savent pas s’il
est vrai ou faux.
La conjecture de Fermat (an + bn = cn...)
s'énonce simplement. Ce qui explique le nombre d'étudiants et d’amateurs
qui se soient attaqués au problème. Nombre de mathématiciens et non
des moindres ont consacré beaucoup de temps à tenter de résoudre
cette énigme sans y parvenir complètement. Elle a même engendré
de nouvelles branches des mathématiques grâce aux différentes
tentatives de résolution.
Du XVIIème au XIXème siècles, ce sont les plus grands noms des
mathématiques qui ont tenté de résoudre l'énigme : Léonard Euler,
Sophie Germain, Adrien Legendre, Gustave Lejeune-Dirichet, Gabriel
Lamé, Ernst Kummer. Ils sont parvenus à démontrer le
théorème pour certaines valeurs en fournissant un contre exemple mais
non dans la généralité.
Guillaume Libri dans la Revue des Deux Mondes de 1845 explique cette
difficulté à démontrer le dernier théorème de Fermat, «Dans une
branche des mathématiques un homme au XVII ème siècle était plus
avancé qu’on ne l'est aujourd’hui. Cet homme savait des choses que
nous ignorons, pour l'atteindre il faudrait des méthodes plus
perfectionnées que celles que l'on a inventées depuis. En vain, les plus
beaux génies s'y sont exercés, en vain Euler, Lagrange ont redoublé
d'efforts : un seul homme jouit du privilège unique de s’être
avancé plus loin que ses successeurs, et cet homme c’est Fermat». De
fortes récompenses furent même proposées pour stimuler les
chercheurs. Ainsi, en 1816 puis en 1850, l'Académie des Sciences de
Paris proposa une récompense au savant qui parviendrait à démonter la
conjecture : une médaille et un prix de 300 000 francs or. C'est Kummer
qui les remporta pour son avancée décisive, mais il n'avait pas
démontré le théorème de Fermat.
En Allemagne, c'est le docteur Paul Wolfokehl qui offre en 1851 1 00 000
marks par testament à celui qui démontrera le grand théorème de
Fermat.
Du XVII ème au XIX ème siècle la contagion fermatique est
circonscrite au vieux continent mais du XX ème marque la mondialisation
de ce "mal" irrépressible.
Partout, en France (Guy Terjanian, André Weil, Jean-Pierre Serre,
Etienne Fouvry), en Allemagne (Ghérard Frey, Gerd Faltings), au Japon (Shimura,
Taniyama, Miaoku), aux Etats Unis (Kenneth Ribet, Barry Mazur), les
mathématiciens sont en effervescence, des progrès sont amorcés mais
personne ne parvient à la démonstration.
La preuve décisive de Wiles s’insère alors dans ce contexte de travaux multiples. Elle s’articule autour
de trois thèmes principaux : les courbes elliptiques, les représentations galoisiennes et les formes modulaires.
Un résumé du cheminement de cette preuve est le suivant. En supposant qu’elle existe, une solution de l’équation
de Fermat est associée une courbe elliptique semi-stable, laquelle détermine sous la conjecture de
Shimura-Taniyama-Weil (prouvée par Wiles) une forme modulaire. Celle-ci implique l’existence d’une représentation
galoisienne (Ribet), dont on constate que certaines de ses propriétés sont contradictoires.
Ainsi, la solution du problème de Fermat n'existe pas.
CONJECTURE
Le mot conjecture apparaît au XIIIè siècle dans la
langue française. Il vient du latin cum et jacere = jeter ensemble, d'où
combiner dans l'esprit, présumer. La conjecture prend ensuite le sens
figuré de : idée fondée sur une probabilité, une apparence. Utilisé
d'abord à propos des augures dans le langage de la magie, il passe
ensuite dans celui de la philosophie, de la logique et enfin dans la
langue des mathématiques. A ne pas confondre avec conjoncture qui désigne
une situation résultant d'un concours de circonstances.
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Pierre Fermat fut un amateur de génie car il a participé à la plupart des grandes
découvertes mathématiques du XVII ème siècle et il a donné pour
bien des théories le coup de pouce indispensable. Sa contribution dans
l’avancée mathématiques s’est révélée importante au cours des
siècles suivants.
Xn + Yn = Zn n'admet pas de solution en nombres entiers si
l'exposant n est strictement supérieur à 2
