UN AMATEUR DE GÉNIE

Pierre Fermat  est surtout connu pour ses recherches et ses travaux mathématiques et ses relations avec les esprits éclairés de son temps. Au XVIIème siècle, se produit un foisonnement scientifique et culturel, vecteur de nombreuses découvertes, dans lequel s’inscrit Fermat. Cependant, le monde scientifique n’est pas organisé, le métier de mathématicien n’existe pas. Fermat pas plus que les autres savants de son siècle, n’était mathématicien de profession. La plupart des passionnés de mathématiques, étaient des magistrats : Viète exerçait la profession d’avocat, Despagnet était conseiller au Parlement de Bordeaux, Carcavi fils de banquier commença sa carrière au Parlement de Toulouse où il connut Pierre Fermat auquel le lia toute sa vie une grande amitié, seul Roberval fait exception.

Le point de départ des travaux de Fermat est soit une obscurité, soit une absence et son premier but est toujours de rétablir ou de comprendre une vérité qu’avaient affirmée les Anciens. Ainsi, à l’instar de ses contemporains, il se tourne vers les oeuvres des géomètres grecs que l’on découvre en Europe à la fin du XVI ème siècle et au début du XVII ème. A partir de ces ouvrages, il va développer la géométrie analytique et le calcul différentiel.
Il fut aussi un précurseur du calcul intégral et du calcul des probabilités.

En optique, Fermat est en polémique avec Descartes. Mais en 1662, alors que Descartes est mort depuis 1650, Fermat combine sa méthode des extrêmes au postulat « que la nature opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées » pour retrouver la proposition de Descartes sur les fractions. Cela l’amène à découvrir le très important principe du moindre temps. Il est à la base de la découverte du calcul des variations qui n’a cessé d’avoir jusqu’à nos jours la plus grande importance en physique et dans des théories aussi nouvelles que la mécanique ondulatoire, l'économie. Mais c’est pour ses travaux sur la théorie des nombres qu’il est devenu célèbre et qu’il s’est révélé sans rival avec son dernier grand théorème. Les problèmes relatifs aux nombres entiers ou rationnels étaient très à la mode dans la première moitié du XVII ème siècle.

 Pierre Fermat fut un amateur de génie car il a participé à la plupart des grandes découvertes mathématiques du XVII ème siècle et il a donné pour bien des théories le coup de pouce indispensable. Sa contribution dans l’avancée mathématiques s’est révélée importante au cours des siècles suivants. Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ n'admet pas de solution en nombres entiers si l'exposant n est strictement supérieur à 2

LES OEUVRES DES GÉOMÈTRES GRECS

En 1588 est publiée en latin la « Collection Mathématique » de Pappus d’Alexandrie (4è siècle après JC) où l’on trouve les propositions d’Apollonius de Perge sur les lieux plans. Ces propositions obscures vont intéresser Fermat qui va compléter et démontrer les propositions transmises par Pappus sur les lieux plans. Ce fut là, certainement, un des tout premiers travaux mathématiques de Fermat qui apporta une avancée formidable au niveau de la géométrie analytique. La publication au XIXè siècle du texte complet de Pappus a montré que Fermat avait fait preuve d’un merveilleux sens divinatoire qui révèle d’emblée la profondeur de son génie.

C’est encore une méditation sur un point obscur de la traduction d’un texte de Pappus qui est à l’origine de ses travaux sur le calcul différentiel. Ils le conduisent à décrire une méthode pour trouver les minima et les maxima qu’il applique ensuite à la construction des tangentes.

LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

C'est à Descartes, avec la parution de sa Géométrie en 1637, que l'on attribue l'invention de la géométrie dite "analytique" qui permet d'associer à une courbe son équation à partir de laquelle on étudie les propriétés de la courbe.
Sensiblement à la même époque, et indépendamment de Descartes, Fermat travaille dans le même sens.
A l'occasion d'un essai de reconstruction d'un traité perdu d'Apollonius de Perge (IIIè siècle avant J.C.) sur les "lieux plans" (lieux qui regroupent les droites ou les cercles), Fermat met en oeuvre ses connaissances de l'algèbre de Viète pour aborder le problème sous un jour totalement nouveau : la nature et la construction des courbes planes sont déterminées par l'équation algébrique qui leur est associée.
Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique en son genre ; les espèces de lignes courbes sont en nombre indéfini, cercle, parabole, hyperbole, ellipse, etc.
 
Fermat se donne une droite sur laquelle il choisit l'origine O (plus exactement, il considère la demi-droite OX) et un angle alfa qu'il choisit en général droit. Si nous appelons x et y les deux inconnues liées par une équation, la première est représentée par OX, la seconde par XM. Lorsque x varie, l'extrémité M génère une courbe plane. (Fig.1). Fermat essaiera par la suite d'étendre sa géométrie analytique aux surfaces de l'espace. Notons que le système de Fermat (tout comme celui de Descartes d'ailleurs), n'est pas tout à fait notre système actuel de coordonnées appelées un peu abusivement "cartésiennes" (Fig.2). En particulier, les quantités négatives ne sont pas représentées.

 LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

Fermat fit deux découvertes importantes étroitement liées à ses travaux sur les lieux plans. La plus importante est sans doute une règle pour la détermination des extremums des fonctions algébriques qu’il décrira sans démonstration dans un petit traité « Méthodus ad disquiren dam Maximam et Minimam » en 1637, 8 ans après sa découverte . Vers 1632, il appliquera cette méthode à la construction des tangentes.

Cette méthode des extremums arriva dans les mains des géomètres parisiens en 1637, Descartes en prit connaissance en 1638 par Mersenne. Mais Fermat l’avait inventée bien avant, puisqu’en 1629, à l’age de 28 ans il l’avait communiquée à un de ses collègues au Parlement de Bordeaux, M. Despagnet.

La méthode parut fausse à Descartes qui écrivit au Père Mersenne « Mon révérend Père, je serais bien aise de ne rien dire de l’écrit que vous m’avez envoyé pour ce que je n’en saurais dire aucune chose qui soit à l’avantage de celui qui l’a composé » 18 janvier 1638.

LE PÈRE MERSENNE

Roberval répond « Quand M. Descartes aura entendu la méthode de M. Fermat... alors il cessera d'admirer que cette méthode ait trouvé des défenseurs et il admirera la méthode même qui est excellente et digne de son auteur » avril 1638. On doit convenir que Fermat ne s'était pas montré prolixe pour faire valoir sa méthode. Si l'on suit strictement les indications de Fermat en les exprimant avec notre symbolisme moderne, ou obtient la règle suivante :
Pour trouver la valeur a où une fonction est maximum ou minimum, exprimer f(a), substituer a+e à a, c'est-à-dire exprimer f(a+e); adégaler f(a) et f(a+e) (adégaler est un terme emprunté à Diophante pour rappeler que f(a+e) n'est que presque égale à f(a) ; dans cette adégalité ne garder que les termes du premier ordre en e ; diviser par e, en égalant on obtient maintenant une équation en a que 1’ont doit résoudre. Il y a dans cette règle le calcul explicite de ce que nous appelons la dérivée : f’(a) et la manière d'utiliser cette dérivée pour déterminer les extremums : chercher les solutions de f'(a) = 0. Bien entendu Fermat n'utilise pas le symbole f'(x) qui ne sera introduit qu’un siècle plus tard par Euler.

Lorsque Fermat applique sa méthode à la construction de 1a tangente en un point d'une courbe, on s'aperçoit qu’il a parfaitement maîtrisé la pratique de ce que nous appelons les coordonnées cartésiennes rectangulaires, ceci donc, bien avant la publication de "la géométrie" de Descartes. Cependant, passant en quelque sorte a côté de la dérivée sans la voir, il ignore que cette dérivée qu'il a pourtant, nous l'avons vu, calculée, lui donne la pente de la tangente cherchée. Ces contemporains Descartes. Roberval. Pascal même ne s’en aperçoivent pas non plus. Il faudra attendre Sluze et Barrow, le maître de Newton qui imagine en 1670, le triangle différentiel pour qu'on se rende enfin compte que la règle de Fermat résolvait d'une manière simple et immédiate le problème de la construction des tangentes.

LE CALCUL INTÉGRAL

Le calcul intégral est le calcul des aires, volumes et centres de gravité. Dans ce domaine l'apport de Fermat est très important. Il utilise par exemple des découpages fondés sur une progression géométrique, mieux adaptés pour le calcul d'aires sous les courbes d'équation y^p = a . x^q   La première utilisation d'un tel type de découpage datait du dixième siècle et était due au mathématicien arabe Ibn al-Haytam. Fermat calcule aussi pour la première fois par ce procédé des aires planes dont une dimension devient infinie. Autrement dit, on trouve dans l'oeuvre de Fermat le premier calcul de ce qu'on appelle communément une intégrale généralisée. 

LE CALCUL DE PROBABILITÉS

C'est une correspondance de 1654 entre Fermat et Blaise Pascal qui va jeter les premières bases du calcul des probabilités.
Le sujet des échanges épistolaires est un problème posé par le Chevalier de Méré. Un jeu est engagé entre deux partenaires. Le gagnant est celui qui remporte le premier un nombre de parties fixé par avance. Or il advient que les deux joueurs doivent se séparer avant l'issue finale. Comment doit-on répartir la mise équitablement, en tenant compte du score au moment où le jeu est interrompu ? Pascal et Fermat sont les premiers à avoir apporté une réponse exacte et générale à ce problème des "partis" (du verbe partir, c'est à dire partager), qui circulait depuis le XV^è siècle au moins.

LE PRINCIPE DU MOINDRE TEMPS

En combinant sa méthode des extrêmes au postulat suivant « que la nature opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées », Fermat arrive à un « principe contraire », à celui qu’avait pris le savant Descartes, à savoir que « le mouvement de la lumière se fait plus facilement et plus vite dans les milieux rares que dans les denses ».

Il ramène ainsi la construction du rayon lumineux à un problème de minimum et le résout en appliquant « les règles de l’art ». Son résultat concorde absolument et sans exception avec la loi découverte par Descartes. Mais se demande t-il « est-il possible d’arriver sans paralogisme à une même vérité par deux voies absolument opposées ? ». Il ajoute « c’est une question que nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils pour la résoudre rigoureusement... »  

SES RECHERCHES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES

Les premières études de Fermat en théorie de nombres remontent à 1630 où il parvient à élucider le problème suivant :
« Soit x² + 2(a+b)x = a² + b² où a, b sont des rationnels, montrer que si x est racine alors x est une différence de deux nombres non commensurables ».

Puis. c'est la période la plus féconde qui s'étend de 1638 à 1644 où Fermat démontre son talent véritable.
1) Aucun triangle rectangle en nombre n’a pour aire un carré.
2) Les équations X⁴ + Y⁴ = Z⁴ et X³ + Y³ = Z³ sont impossibles en nombre rationnels.
3) Aucun nombre de la forme 8k - 1 n'est carré ou somme de deux ou trois carrés.
4) Tout nombre est la somme de trois nombres triangulaires ou plus, de quatre nombres carrés, de cinq nombres pentagones.
Les propositions 1, 2 et 4 furent démontrées, semble t-il par sa méthode de «la descente infinie» qui est fondée sur une sorte d'induction inversée. En effet, si l'on suppose qu'un nombre jouit d'une propriété spécifique, et qu’on peut prouver qu'un nombre inférieur jouit aussi de cette propriété, par itération on arrive à conclure à l'absurdité de la supposition, parce que les nombres entiers ne peuvent décroître indéfiniment.
5) Si n est composé, 2ⁿ -1 est composé.
Si n est premier, tout diviseur premier de 2ⁿ -1 donne un reste égal à 1 dans la division par n.
6) Si p est premier, a ^p-1 - 1 est divisible par p (petit théorème de Fermat).
7) Quant n = p²+ q², p et q étant premiers entre eux. n n’a aucun diviseur de la forme 4k- 1 (démontré par la descente infinie).
Pendant près de 10 ans, Fermat garde le silence sur la théorie des nombres et c'est par une lettre adressée à Pascal qu'il réaffirme la primauté 2 ²ⁿ +1 quel que soit n. Puis dans une seconde lettre, il énonce une suite de propositions qui concernent presque tous les nombres premiers. Après un nouveau silence de plus de deux ans. il lance un défi aux mathématiciens anglais et à cette occasion, on voit apparaître l'équation de Pell : nx²+1 =y².

DERNIER GRAND THÉORÈME DE FERMAT

Parmi ses travaux sur la théorie des nombres, le plus célèbre reste l’équation qu'il a écrite dans la marge de l'édition Bachet de Méziriac des oeuvres de Diophante :
 « il est impossible de décomposer un cube en deux autres cubes, ni aucune puissance supérieure (autrement dit a³ + b³ = c³, a⁴ + b⁴ = c^4, aⁿ + bⁿ = cⁿ, pour n > 2 sont impossibles) et il ajoute « j'en ai découvert une preuve merveilleuse qui ne tient pas dans la marge».
Cet énoncé est à rapprocher du théorème de Pythagore qui dit que, dans le triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Cette propriété est vérifiée par une infinité de triplets de nombres tels que 3, 4, 5 ou encore 5, 12, 13. Fermat prétend que cette équation merveilleuse illustrée par Pythagore et Diophante ne se vérifiait plus avec des nombres entiers pour des puissances supérieures à 2.
Il faudra 350 ans de recherches mathématiques pour que cette conjecture devienne théorème en 1995.

350 ANS DE RECHERCHES SUR LA CONJECTURE DE FERMAT

Conjecture : nom que les mathématiciens donnent à un énoncé dont ils ne savent pas s’il est vrai ou faux.
La conjecture de Fermat (an + bn = cn...) s'énonce simplement. Ce qui explique le nombre d'étudiants et d’amateurs qui se soient attaqués au problème. Nombre de mathématiciens et non des moindres ont consacré beaucoup de temps à tenter de résoudre cette énigme sans y parvenir complètement. Elle a même engendré de nouvelles branches des mathématiques grâce aux différentes tentatives de résolution.

Du XVIIème au XIXème siècles, ce sont les plus grands noms des mathématiques qui ont tenté de résoudre l'énigme : Léonard Euler, Sophie Germain, Adrien Legendre, Gustave Lejeune-Dirichet, Gabriel Lamé, Ernst Kummer. Ils sont parvenus à démontrer le théorème pour certaines valeurs en fournissant un contre exemple mais non dans la généralité.

Guillaume Libri dans la Revue des Deux Mondes de 1845 explique cette difficulté à démontrer le dernier théorème de Fermat, «Dans une branche des mathématiques un homme au XVII ème siècle était plus avancé qu’on ne l'est aujourd’hui. Cet homme savait des choses que nous ignorons, pour l'atteindre il faudrait des méthodes plus perfectionnées que celles que l'on a inventées depuis. En vain, les plus beaux génies s'y sont exercés, en vain Euler, Lagrange ont redoublé d'efforts : un seul homme jouit du privilège unique de s’être avancé plus loin que ses successeurs, et cet homme c’est Fermat». De fortes récompenses furent même proposées pour stimuler les chercheurs. Ainsi, en 1816 puis en 1850, l'Académie des Sciences de Paris proposa une récompense au savant qui parviendrait à démonter la conjecture : une médaille et un prix de 300 000 francs or. C'est Kummer qui les remporta pour son avancée décisive, mais il n'avait pas démontré le théorème de Fermat.

En Allemagne, c'est le docteur Paul Wolfokehl qui offre en 1851 1 00 000 marks par testament à celui qui démontrera le grand théorème de Fermat.

Du XVII ème au XIX ème siècle la contagion fermatique est circonscrite au vieux continent mais du XX ème marque la mondialisation de ce "mal" irrépressible.

Partout, en France (Guy Terjanian, André Weil, Jean-Pierre Serre, Etienne Fouvry), en Allemagne (Ghérard Frey, Gerd Faltings), au Japon (Shimura, Taniyama, Miaoku), aux Etats Unis (Kenneth Ribet, Barry Mazur), les mathématiciens sont en effervescence, des progrès sont amorcés mais personne ne parvient à la démonstration.

La preuve décisive de Wiles s’insère alors dans ce contexte de travaux multiples. Elle s’articule autour de trois thèmes principaux : les courbes elliptiques, les représentations galoisiennes et les formes modulaires. Un résumé du cheminement de cette preuve est le suivant. En supposant qu’elle existe, une solution de l’équation de Fermat est associée une courbe elliptique semi-stable, laquelle détermine sous la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (prouvée par Wiles) une forme modulaire. Celle-ci implique l’existence d’une représentation galoisienne (Ribet), dont on constate que certaines de ses propriétés sont contradictoires.
Ainsi, la solution du problème de Fermat n'existe pas.

CONJECTURE

Le mot conjecture apparaît au XIIIè siècle dans la langue française.
Il vient du latin cum et jacere = jeter ensemble, d'où combiner dans l'esprit, présumer. La conjecture prend ensuite le sens figuré de : idée fondée sur une probabilité, une apparence. Utilisé d'abord à propos des augures dans le langage de la magie, il passe ensuite dans celui de la philosophie, de la logique et enfin dans la langue des mathématiques. A ne pas confondre avec conjoncture qui désigne une situation résultant d'un concours de circonstances.

Page suivante Son oeuvre

CONTACT Fermat Science 3 rue Pierre Fermat 82500 BEAUMONT DE LOMAGNE
Tél. : 05.63.26.52.30 - contact(at)fermat-science.com - http://www.fermat-science.com

http://fermat-lomagne.fr/